Родился в д. Фокино Дмитриевского уезда Курской Курской губернии (ныне Дмитриевского р-на Курской области).
Учился в сельской школе.
В 1936 г. начал работать, вначале путеукладчиком, затем рабочим фосфоритного завода.
В 1940 г. призван в Рабоче-крестьянскую Красную армию (РККА) и направлен проходить службу на Крайний Север.
С началом Великой Отечественной войны (с июня 1941) принимает участие в боевых действиях на Карельском фронте.
Сержант Н.Е. Ашурков проявил отличие в октябре 1944 г. в ходе Петсамо-Киркенесской операции.
11 октября 1944 г. подразделения 155-го стрелкового полка, пройдя большой путь в глубоком тылу противника, вышли на дорогу Титовка — Петсамо к высоте Придорожная.
Перед наступавшей на главном направлении немецкой стрелковой ротой выдвинули пулемётный расчёт, под командой сержанта А.Ф. Бредова, наводчик — сержант Н. Ашурков.
Гитлеровцы обнаружили местонахождение пулемётного расчёта и стали окружать его, чтобы взять в плен.
Когда у расчёта кончились пулемётные патроны, они стали забрасывать фашистов гранатами, но гитлеровцы сомкнули кольцо, а оставшиеся в живых А. Бредов и Н. Ашурков обнялись, и Ашурков поднялся во весь рост и со словами «Русские в плен не сдаются!» кинул гранату в наступавших немцев.
Последней гранатой они подорвали себя вместе с пулемётом.
Воодушевлённые этим подвигом, подразделения 155-го стрелкового полка овладели высотой Придорожная.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 24 марта 1945 г. по представлению командования, сержантам А.Ф. Бредову и Н.Е. Ашуркову присвоено звание Герой Советского Союза, посмертно.
Но сержант Н. Ашурков не погиб: тяжело раненый он пять суток пролежал без сознания и на пятые сутки его подобрали санитары.
Пройдя длительное лечение в госпиталях Мурманска, Петрозаводска, Череповца, Н.Е. Ашуркова демобилизовали и он возвратился в родную деревню с инвалидностью 1-й группы.
После войны Н.Е. Ашуркову вручили заслуженные награды — орден Ленина и медаль «Золотая Звезда».
Скончался и похоронен нп родине.
В память о Н.Е. Ашуркове на доме, где он жил установили мемориальную доску.